Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且， .

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面.據(jù)此有，結(jié)合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.

(Ⅱ)取的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，連接，以的方向分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，據(jù)此計(jì)算可得二面角的余弦值為.

法2：若以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，則面的法向量面的法向量，計(jì)算可得為鈍角，則余弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴.

又∵平面平面，∴平面.

又∵平面，∴.

∵， ，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）取的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，連接

易得底面，

以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，可得， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

而，

即

取得

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

而，

則即取得

由圖知所求二面角為鈍角

故二面角的余弦值為.

法2：若以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，如圖，

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2

可得面的法向量

面的法向量

由圖可得為鈍角

∴余弦值為.