Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，其中函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）確定a與b的關系；
（2）若a≥0，試討論函數g（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得g（x）=lnx+ax2+bx，

則

由函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g'（1）=1+2a+b=0，

∴b=﹣2a﹣1

（2）解：由（1）得 ．

∵函數g（x）的定義域為（0，+∞），

∴當a=0時， ．

由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，

當a＞0時，令g'（x）=0，得x=1或 ，

若 ，即 ，

由g'（x）＞0，得x＞1或 ，

由g'（x）＜0，得 ；

若 ，即 ，

由g'（x）＞0，得 或0＜x＜1，

由g'（x）＜0，得

若 ，即 ，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0

綜上可得：當a=0時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；

當 時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，

在 上單調遞減，在 上單調遞增；

當 時，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當 時，函數g（x）在 上單調遞增，

在 上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增

【解析】（1）求出函數的導數，利用切線與x軸平行，推出結果．（2）求出函數的導數與函數g（x）的定義域，通過當a=0時，當a＞0時，分別求解函數的極值點，判斷函數的單調性，即可得到結論．