已知函數
，其中
是實數，設
為該函數的圖象上的兩點，且
.
⑴指出函數
的單調區間；
⑵若函數的圖象在點
處的切線互相垂直，且
，求
的最小值；
⑶若函數的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍.
(1)單調減區間為
，單調增區間為
;（2）1；（3）
．
解析試題分析：（1）根據基本初等函數的性質知，分段函數
在
時是二次函數的一部分，有兩個單調區間：增區間
，減區間
，
時是對數函數，只有一個單調增區間
；（2）對函數圖象來講，它在某點處的切線斜率等于該函數在此點處的導數，故有
，由于
，兩點在
軸的左邊，
，因此有
，顯然有
，可以表示為關于
的函數，從而求出最小值（
，
應用基本不等式即可得解）也可以直接湊配出基本不等式的形式，＝
利用基本不等式）；（3）這里我們首先分析
所處范圍，結合圖象易知不可能在同一單調區間，只能是
，那么我們可得出兩點處的切線方程分別為
，
，兩條切線相同，則有
，于是可把表示為（或者
）的函數，把求匠范圍轉化為求函數的值域．
試題解析：（1）單調減區間為，單調增區間為4分
（2），
當時，因為，所以
.8分
∴
當且僅當
時等號成立，
∴的最小值為1.10分
（3）當或
時，
，故
當
時，函數的圖象在點
的切線方程為
即
當
時，函數在
切線方程為
兩切線重合的充要條件是13分
由①及知
由①②得
又
，與
在
都為減函數.
∴16分
考點：（1）單調區間；（2）函數圖象的切線及基本不等式；（3）切線與函數的值域．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)=x3+ax-2,(a
R).
(l)若f(x)在區間(1,+
)上是增函數，求實數a的取值范圍;
(2)若
，且f(x0)=3，求x0的值；
(3)若
，且在R上是減函數，求實數a的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
湖南省環保研究所對長沙市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數
與時刻x的關系為
，其中a是與氣象有關的參數，且
，若用每天的最大值作為當天的綜合放射性污染指數，并記作
.
(Ⅰ)令
，求t的取值范圍；
(Ⅱ)省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設施邊界為曲線
的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點
，交曲線于點
，設
．
（1）將△
（
為坐標原點）的面積
表示成
的函數
；
（2）若在
處，取得最小值，求此時
的值及的最小值．
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是定義在
上的函數
的奇偶性；
且
，函數
，
，記
．
的定義域
及其零點；
的方程
在區間
內僅有一解，求實數
的取值范圍.
是奇函數，且
.
的值；
在
上的單調性，并用定義加以證明．
是定義在
上的偶函數，當
時，
。
是定義域為
的奇函數．
的值；
，且
在
上的最小值為
，求
的值.