Question

已知且，函數(shù)，，記．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域及其零點；
（Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的定義域，其零點為0；（Ⅱ）①當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為：；②當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為：．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知可得函數(shù)的解析式：（且）．由可得函數(shù)的定義域．令，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化同底后可解得的值，注意需驗證是否在函數(shù)定義域內(nèi)；（Ⅱ）把關(guān)于的方程化為：，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，可得這個函數(shù)單調(diào)性和最值，從而得，最后分和兩種情況可求得實數(shù)的取值范圍．
試題解析：（1）（且），由 ，解得，所以函數(shù)的定義域為．令，則（*）
方程變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c9/f/j2xq11.png" style="vertical-align:middle;" />，，即，解得，  4分
經(jīng)檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，所以函數(shù)的零點為．    6分
（2）（），，．設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，當(dāng)時，此時，，所以．①若，則，方程有解；②若，則，方程有解．                                         13分
考點：1．函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系；2．函數(shù)的定義域和最值．