Question

【題目】已知函數．

（1）是否存在實數、，使得函數的定義域和值域都是？若存在，請求出，的值；若不存在，請說明理由．

（2）若存在實數，，使得函數的定義域是，值域是，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不存在實數、滿足條件,（2）.

【解析】

（1）不存在實數、滿足條件．

事實上，若存在實數、，使得函數的定義域和值域都是，則有．

故．

（i）當、時，在上 減函數，所以，，即．

由此推得與已知矛盾．

故此時不存在實數、滿足條件．

（ii）當、時，在上為增函數，所以，，即．

于是，、是方程的實根．

而此方程無實根．

故此時不存在實數、滿足條件．

（iii）當，時，顯然，，而，所以，，矛盾．

故此時不存在實數、滿足條件．

綜上可知，不存在實數、滿足條件．

（2）若存在實數、，使得函數的定義域是，值域是，易得，．

仿照（1）的解答可知，當、或，時，滿足條件的、不存在．

只有當、時，在上為增函數，有，即．

于是，、是方程的兩個大于1的實數根．

所以，，只須．解得．

因此，的取值范圍是．