Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+21nx．
（1）求f（x）的單調區間．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是﹣2，求a的值．
（3）記g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，當a≤﹣2時，若對任意x1 ， x2∈（0，+∞），總有|g（x1）﹣g（x2）|≥k|x1﹣x2|成立，試求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax2+21nx（x＞0）的導數為f′（x）=2ax+ = ，

當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；

當a＜0時，f′（x）＞0解得0＜x＜ ；f′（x）＜0解得x＞ ．

即有a≥0時，f（x）的增區間為（0，+∞）；

a＜0時，f（x）的增區間為（0， ）；減區間為（ ，+∞）

（2）解：由（1）可得a≥0時，f（x）在（0，1]遞增，f（1）取得最大，且為a=﹣2，舍去；

a＜0時，若1≤ 即﹣1≤a＜0時，f（x）在（0，1]遞增，

則f（1）=a取得最大值，且為a=﹣2＜﹣1，不成立；

若1＞ 即a＜﹣1時，f（x）在（0， ）遞增，（ ，1]遞減，．

則f（ 取得最大值，且為﹣1+2ln =﹣2，解得a=﹣e＜﹣1，成立．

綜上可得a=﹣e

（3）解：g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1=ax2+（a+1）lnx+1，

g′（x）=2ax+ ＜0，（a≤﹣2），即有g（x）在（0，+∞）遞減，

令x1＜x2，則g（x1）＞g（x2），

若對任意x1，x2∈（0，+∞），總有|g（x1）﹣g（x2）|≥k|x1﹣x2|成立，

即為g（x1）﹣g（x2）≥k（x2﹣x1），即g（x1）+kx1≥g（x2）+kx2，

則h（x）=g（x）+kx在（0，+∞）遞減，

即有h′（x）=g′（x）+k≤0恒成立，

則﹣k≥2ax+ 的最大值，

由a≤﹣2，2ax+ ≤﹣4x﹣ =﹣（4x+ ）≤﹣2 =﹣4，

當且僅當x= 時，取得最大值﹣4，

則﹣k≥﹣4，即k≤4，則k的最大值為4

【解析】（1）求出f（x）的導數，討論a≥0時，a＜0時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；（2）由（1）可得，可得a≥0時，f（x）在（0，1]遞增，f（1）最大為﹣2，解方程可得；a＜0時，求得極值點，與區間（ ），1]的關系，可得最大值，解方程可得a的值；（3）求得g（x）的導數，判斷符號可得單調性，再由條件可得h（x）=g（x）+kx遞減，運用導數，結合基本不等式可得k的最大值．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．