Question

【題目】如圖，已知離心率為 的橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B．

（1）求橢圓C的方程．
（2）證明：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為： + =1（a＞b＞0），

由題意得： ，

解得a2=8，b2=2，

∴橢圓方程為 ．

（2）證明：由直線l∥OM，設l：y= ，

將式子代入橢圓C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣2m， ，

設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，

則 ， ，

∵k1+k2=

=1+m

=1+m =0，

故直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

【解析】（1）先由橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 和橢圓過點M（2，1），列出方程組，再由方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）由直線l∥OM，設l：y= ，將式子代入橢圓C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，設直線MA、MB的斜率分別為k1 ， k2 ， 欲證明直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．只需證明：k1+k2=0即可．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．