Question

【題目】設是定義在D上的函數,若對D中的任意兩數),恒有,則稱為定義在D上的C函數.

(1)試判斷函數是否為定義域上的C函數,并說明理由;

(2)若函數是R上的奇函數,試證明不是R上的C函數;

(3)設是定義在D上的函數,若對任何實數以及D中的任意兩數),恒有,則稱為定義在D上的π函數. 已知是R上的π函數,m是給定的正整數,設,且,記. 對于滿足條件的任意函數,試求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3) 的最大值為.

【解析】試題分析：(1)證明是否成立,即可得出結論；(2)假設是R上的C函數,取, 則有,結合奇函數可得,是同理可得,則推出矛盾；(3)對任意,取.由題意, = ≤=,則.

試題解析：(1) 是C函數,

證明如下:對任意實數),

有==.

即， 是C函數.

(2)假設是R上的C函數,取,

則有.

是奇函數，所以，所以. (*)

同理,取,可證.與(*)式矛盾.

不是R上的C函數.

(3)對任意,取.

是R上的函數, ,且

= =.

那么= .

可證是函數,且使得都成立，此時.

綜上所述, 的最大值為.