Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．

（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PBD；
（3）在線段PC上是否存在一點Q，使得二面角Q﹣BD﹣P為45°？若存在，求 的值；若不存在，請述明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CD中點F，連結EF，BF，

∵E為PC中點，AB=AD=PD=1，CD=2，

∴EF∥PD，AB DF，

∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴BF∥AD，

∵EF∩BF=F，AD∩PD=D，BF、EF平面BEF，AD、PD平面ADP，

∴平面PAD∥平面BEF，

∵BE平面BEF，∴BE∥平面PAD．

（2）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，

∴PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，

∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，

∴BD=BC= = ，

∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，

∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

（3）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），設Q（0，b，c），

=（1，1，0）， =（0，0，1）， =（0，b，c），

設平面BDP的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

設平面BDQ的法向量 =（x1，y1，z1），

則 ，取x1=1，得 =（1，﹣1， ），

∵二面角Q﹣BD﹣P為45°，

∴cos45°= = = ，解得 = ，

∴Q（0， c，c），∴ ，解得c=2﹣ ，∴Q（0，2 -2，2﹣ ），

∴ = = -1．

∴在線段PC上存在Q（0，2 -2，2﹣ ），使得二面角Q﹣BD﹣P為45°， = -1．

【解析】（1）取CD中點F，連結EF，BF，則EF∥PD，AB DF，從而BF∥AD，進而平面PAD∥平面BEF，由此能證明BE∥平面PAD．（2）推導出BC⊥PD，BC⊥BD，由此能證明BC⊥平面PBD．（3）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段PC上存在Q（0，2 -2，2﹣ ），使得二面角Q﹣BD﹣P為45°， = -1．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．