Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，M為直線x=﹣3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點P，Q．證明：OM經過線段PQ的中點N．（其中O為坐標原點）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得c=2，

短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形，可得

a= 2b，即有a= b，a2﹣b2=4，

解得a= ，b= ，

則橢圓方程為 =1；

（2）證明：設M（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），

PQ的中點為N（x0，y0），kMF=﹣m，

由F（﹣2，0），可設直線PQ的方程為x=my﹣2，

代入橢圓方程可得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

即有y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

于是N（﹣ ， ），

則直線ON的斜率kON=﹣ ，

又kOM=﹣ ，

可得kOM=kON，

則O，N，M三點共線，即有OM經過線段PQ的中點．

【解析】（1）由橢圓C的焦距為4，及等邊三角形的性質和a2=b2+c2 ， 求得a，b，即可求橢圓C的標準方程；（2）設M（﹣3，m），P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），PQ的中點為N（x0 ， y0），kMF=﹣m，設直線PQ的方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合三點共線的方法：斜率相等，即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．