Question

【題目】已知函數,.

（1）若,函數在區間上的最大值是，最小值是,求的值；

（2）用定義法證明在其定義域上是減函數；

（3）設, 若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）分析二次函數的單調性，可得出函數在區間上的最大值，可列出有關、的方程組，即可求出與的值；

（2）任取，作差，利用指數、對數函數的單調性得出差值的正負，從而證明函數在定義域上的單調性；

（3）根據題意得出，根據（1）和（2）中兩個函數的單調性，得出這個最值，然后解出不等式可得出的取值范圍。

（1）函數的對稱軸是.

,所以，函數在區間上是增函數，在區間上

是減函數.

. ①

又分析知, ②聯立① ②解得.

（2）函數的定義域為.

設.

因為,

又有，所以，

,即.

所以，函數在其定義域上是減函數.

（3）對任意，不等式恒成立,

.

由(2)知在區間上是減函數,

且.

若,則在區間上是增函數,

,

.

若,則,顯然成立;

若,則在區間上是減函數,

,

,.

綜上,實數的取值范圍是.