Question

已知函數(shù)，（，）．
（1）判斷曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)△>時(shí)，即或時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△=時(shí)，即或時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△<時(shí),即時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn) .
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

解析試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得切線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式，得到曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程為；
由，利用一元二次方程根的判別式討論得解.
（2）為討論=的零點(diǎn)，
令得到，
因此可令，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，討論起最大值、最小值即得所求.
試題解析：（1），所以斜率                     2分
又，曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程為        3分
由                     4分
由△=可知：
當(dāng)△>時(shí)，即或時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△=時(shí)，即或時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△<時(shí),即時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)                           7分
（2）=，
由得                                      8分
令，則    
當(dāng)，由得                          10分
所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增                 
因此，                                          11分
由，比較可知
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).          14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化與劃歸思想.