Question

【題目】已知函f（x）=ax2﹣ex（a∈R）． （Ⅰ）a=1時，試判斷f（x）的單調性并給予證明；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）．
（i） 求實數a的取值范圍；
（ii）證明：﹣ ． （注：e是自然對數的底數）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2﹣ex ， f（x）在R上單調遞減． 事實上，要證f′（x）=x2﹣ex在R上為減函數，只要證明f′（x）≤0對x∈R恒成立即可，
設g（x）=f′（x）=2x﹣ex ， 則g′（x）=2﹣ex ，
當x=ln2時，g′（x）=0，
當x∈（﹣∞，ln2）時，g′（x）＞0，當x∈（ln2，+∞）時，g′（x）＜0．
∴函數g（x）在（﹣∞，ln2）上為增函數，在（ln2，+∞）上為減函數．
∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2﹣2＜0，故f′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上單調遞減；
（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣ex ， 所以，f′（x）=2ax﹣ex ．
若f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 則x1 ， x2是方程f′（x）=0的兩個根，
故方程2ax﹣ex=0有兩個根x1 ， x2 ，
又因為x=0顯然不是該方程的根，所以方程 有兩個根，
設 ，得 ．
若x＜0時，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）單調遞減．
若x＞0時，h（x）＞0．
當0＜x＜1時h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
當x＞1時h′（x）＞0，h（x）單調遞增．
要使方程 有兩個根，需2a＞h（1）=e，故 且0＜x1＜1＜x2 ．
故a的取值范圍為 ．
（ii）證明：由f′（x1）=0，得： ，故 ，x1∈（0，1）
= ，x1∈（0，1）
設s（t）= （0＜t＜1），則 ，s（t）在（0，1）上單調遞減
故s（1）＜s（t）＜s（0），即
【解析】（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求出函數的導函數，把導函數二次求導后，求出導函數的最大值，得到導函數的最大值小于0，從而得到原函數是實數集上的減函數；（Ⅱ）（i）把函數f（x）=ax2﹣ex有兩個極值點轉化為其導函數f′（x）=2ax﹣ex有兩個根，分離變量a后分析右側函數 的單調性，該函數先減后增有極小值，然后根據圖象的交點情況得到a的范圍；（ii）由x1是原函數的導函數的根，把x1代入導函數解析式，用x1表示a，然后把f（x1）的表達式中的a替換，得到關于x1的函數式后再利用求導判斷單調性，從而得到要征得結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．