Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．

（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；

（2）若PD∥平面EAC，求三棱錐P-EAD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由線線垂直得線面垂直AC⊥平面PBD，再根據面面垂直判定定理得結果．

（2）根據等體積法得，再根據錐體體積公式得結果.

(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PD．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（2）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，

∴PD∥OE，

∵O是BD中點，∴E是PB中點．

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴三角形ABD為正三角形．

∵PD⊥平面ABCD，

∴

==．