Question

【題目】已知在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，都是正三角形，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值；

（3）若點(diǎn)在一個(gè)表面積為的球面上，求的邊長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；（2）（3）.

【解析】試題分析：（1）連接，由，是正三角形且，為、的中點(diǎn)可得，可得①，由已知易證面，從而可得，利用線面垂直的判定定理可證；（2）由，可得， 為所求的二面角，由（1）可得為直角三角形，中，求解即可；（3）由題意可求的外接球的半徑，由（2）得（a為的邊長(zhǎng)）且 為等腰直角三角形，故而可求得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：連接，

因?yàn)樵诘冗?/span>中， 為中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>,,.

所以平面,

又平面,所以,

在中，為邊上的中線，

又，

所以為直角三角形，且.

因?yàn)?/span>，，，

所以平面.

（2）解：由（1）可知， 為所求二面角的平面角.

設(shè)，則，，

在直角三角形中，.

(3)解：設(shè)球半徑為，則，所以.

設(shè)的邊長(zhǎng)為，

因?yàn)?/span>平面，平面

所以，，

且由（2）知，.

因?yàn)?/span>,

所以為直角三角形，且，，

所以，所以.