Question

【題目】設函數（且，），是定義域是的奇函數.

（1）求的值，判斷并證明當時，函數在上的單調性；

（2）已知，函數，，求的值域；

（3）已知，若對于時恒成立，請求出最大的整數

Answer 1

【答案】（1） ,在上為增函數；（2） ；（3） .

【解析】

試題分析：（1）根據函數為上的奇函數,可得的值.即可得的解析式,根據函數單調性定義,利用做差可得出函數單調性；（2）根據的值求,可得的解析式,利用換元法,將轉化為二次函數,利用二次函數的性質,即可求得值域；（3）利用換元法和參變量分離,將不等式轉化為恒成立,利用二次函數性質求得最小值,即可求范圍.

試題解析：解：

（1）∵是定義域為上的奇函數，∴，得，

，，即是上的奇函數

設，則，

∵，∴，∴，∴在上為增函數.

（2）∵，∴，即，∴或（舍去）

則，，令，，

由（1）可知該函數在區間上為增函數，則，

則，，

當時，；當時，

所以的值域為.

（3）由題意，即，在時恒成立，

令，，則

則，恒成立，

即為，恒成立

，恒成立，當時，，

∴，則的最大整數為.