Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在上為增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）當時，求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求曲線在處的切線斜率，由點斜式可得結果；（2）函數在上為增函數，等價于對任意x,上恒成立，在上恒成立，令，利用導數研究函數的單調性，由單調性求出的最小值，即可求的取值范圍.

（1）當a＝1時， ，

∴f(1)＝－e－×12＋2×1＝－e，

又f ′(x)＝－ex－x＋2，

∴f ′(1)＝－e－1＋2＝1－e，

∴曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y－＝(1－e)(x－1)，

即所求切線方程為：(1－e)x－y＋ =0 .

（2）∵函數在R上是增函數，

∴f ′(x)≥0在R上恒成立，

∴－aex－x＋2≥0在R上恒成立，即a≤在R上恒成立，

令g(x)＝，則g′(x)＝，

令g′(x)＝0，解得x＝3，

當x變化時，g(x)、g′(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，3)	3	(3，＋∞)
g′(x)	－	0	＋
g(x)	減		增

∴函數g(x)在x＝3處取得極小值，即g(x)min＝ ，

∴a≤，

∴實數a的取值范圍是.