Question

【題目】已知圓C過兩點M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圓心在直線2x﹣y﹣2=0上
（1）求圓的方程；
（2）直線l過點（﹣2，5）且與圓C有兩個不同的交點A、B，若直線l的斜率k大于0，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過點P（3，﹣1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：MN的垂直平分線方程為：x﹣2y﹣1=0與2x﹣y﹣2=0聯立解得圓心坐標為C（1，0）

R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25

∴圓C的方程為：（x﹣1）2+y2=25

（2）解：設直線l的方程為：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，設C到直線l的距離為d，

則d=

由題意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0

∴k＜0或k＞

又因為k＞0

∴k的取值范圍是（ ，+∞）

（3）解：設符合條件的直線存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=﹣ （x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0

∵弦的垂直平分線過圓心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2

∵k=2＞

故符合條件的直線存在，l的方程：x+2y﹣1=0

【解析】（1）圓心C是MN的垂直平分線與直線2x﹣y﹣2=0的交點，CM長為半徑，進而可得圓的方程；（2）直線l過點（﹣2，5）且與圓C有兩個不同的交點，則C到l的距離小于半徑，進而得到k的取值范圍；（3）求出AB的垂直平分線方程，將圓心坐標代入求出斜率，進而可得答案．