Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點， ， 分別為橢圓的右頂點、上頂點和右焦點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線： 被圓： 所截得的弦長為，若直線與橢圓交于， 兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）當，即時， 面積取到最大值1．

【解析】試題分析：利用離心率可以得出的關系，化為的關系，再利用的面積列出的方程，借助解出，寫出橢圓方程，聯立方程組，化為關于的一元二次方程，利用設而不求思想，借助根與系數關系，利用弦長公式表示出弦長，寫出面積，利用換元法和配方法求出最值.

試題解析：

（1）由題意，橢圓的焦點在軸上，設橢圓標準方程為，則，所以，即，可得，

，

∴，∴， ，

所以橢圓的方程為．

（2）由題意知，圓心到直線的距離為1，即，所以．　

由消去，得，

∴，所以，

設， ，則， ，

所以

，

所以的面積為 ，

令，

則，

所以當，即時， 面積取到最大值1．