Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數）.

（1）若,求函數在區間上的最大值；

（2）若,關于的方程有且僅有一個根, 求實數的取值范圍；

（3）若對任意,不等式均成立, 求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題（Ⅰ）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，關于x的方程f（x）=kg（x）有且僅有一個根，即，有且只有一個根，令，可得h（x）極大=h（2）=，h（x）極小=h（1）=，進而可得當k＞或0＜k＜時，k=h（x）有且只有一個根；（Ⅲ）設，因為在[0，2]單調遞增，故原不等式等價于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，當a≥-（ex+2x）恒成立時，a≥-1；當a≤ex-2x恒成立時，a≤2-2ln2，綜合討論結果，可得實數a的取值范圍

試題解析：（1）當時,, 故在上單調遞減,上單調遞增, 當時,, 當時,, 故在區間上．

（2）當時, 關于的方程為有且僅有一個實根, 則有且僅有一個實根, 設,則,

因此在和上單調遞減, 在上單調遞增,, 如圖所示, 實數的取值范圍是．

（3）不妨設,則恒成立．

因此恒成立, 即恒成立,

且恒成立, 因此和均在上單調遞增,

設,

則在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上單調遞減, 因此時,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,設,則．當時,, 因此在內單調遞減, 在內單調遞增,因此．綜上述,．