Question

【題目】已知函數f（x）＝2lnx﹣2mx+x2（m＞0）．

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）當時，若函數f（x）的導函數f′（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，其橫坐標分別為x1，x2（x1＜x2），線段AB的中點的橫坐標為x0，且x1，x2恰為函數h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零點．求證（x1﹣x2）h'（x0）≥+ln2．

Answer 1

【答案】（1）當0＜m≤2時，f（x）在（0，+∞）內單調遞增；當m＞2時，f（x）在內單調遞減，在，內單調遞增； （2）見解析.

【解析】

（1）由題易知，然后將其看成二次函數，討論根與系數之間的關系和判別式對其進行分析，得出單調性；

（2）求出函數的導函數，表示出，令，由，根據函數的單調性證明即可.

（1）由于f（x）＝2lnx﹣2mx+x2的定義域為（0，+∞）， ．

對于方程x2﹣mx+1＝0，其判別式△＝m2﹣4．

當m2﹣4≤0，即0＜m≤2時，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）內單調遞增．

當m2﹣4＞0，即m＞2，方程x2﹣mx+1＝0恰有兩個不相等是實根，

令f'（x）＞0，得或，此時f（x）單調遞增；

令f'（x）＜0，得，此時f（x）單調遞減．

綜上所述，當0＜m≤2時，f（x）在（0，+∞）內單調遞增；

當m＞2時，f（x）在內單調遞減，

在，內單調遞增．

（2）證明：由（1）知， ，

所以f'（x）的兩根x1，x2即為方程x2﹣mx+1＝0的兩根．

因為，所以△＝m2﹣4＞0，x1+x2＝m，x1x2＝1．

又因為x1，x2為h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零點，

所以，

兩式相減得，

得 ．而，

所以（x1﹣x2）h'（x0）＝

＝

令，由得，

因為x1x2＝1，兩邊同時除以x1x2，得，

因為，故，解得 或t≥2，所以．

設 ，所以，

則y＝G（t）在上是減函數，所以，

即y＝（x1﹣x2）h'（x0）的最小值為．

所以 ．