Question

【題目】已知函數 曲線在原點處的切線為 .

（1）證明：曲線與軸正半軸有交點；

（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線，求證：曲線上的點都不在直線的上方 ；

（3）若關于的方程（為正實數）有不等實根求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】分析：（1）由條件可得，然后利用單調性及零點存在定理可得存在 使得，從而得結論成立．（2）由（1）可得曲線在點處的切線：. 令，，則，由的單調性可得，從而可得結論成立．（3）結合以上兩問中的有關結論構造新的函數進行證明可得結論成立．

詳解：證明：（1）∵，

∴，

由已知得 ，解得

∴，

∴在 上單調遞增，在上單調遞減，

又，，

∴存在 使得 ．

∴曲線與軸正半軸有交點 ．

（2）由（1）可得曲線在點處的切線： ，

令， ，

則，

又,

故當 時，，單調遞增，

當 時，，單調遞減，

所以對任意實數都有 ，

即對任意實數都有 ，

故曲線上的點都不在直線的上方．

（3）由（1）知，

所以為減函數.

設方程 的根為，

由（2）可知，

所以.

記，則

當 時， 單調遞增，

當 時，，單調遞減，

所以對任意的實數，都有 ，

即.

設方程的根 ，

則 ，

所以.

于是

令，

又，則，

所以 在上為增函數，

又

所以 ，

所以