Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0時，有 ．
（1）解不等式 ；
（2）若f（x）≤t2﹣2at+1對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，則

∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）為增函數

∵

∴

∴ ，

即不等式 的解集為

（2）解：由于f（x）為增函數，∴f（x）的最大值為f（1）=1，

∴f（x）≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，等價于t2﹣2at+1≥1對任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

即t2﹣2at≥0對任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

把y=t2﹣2at看作a的函數，由于a∈[﹣1，1]知其圖象是一條線段．

∵t2﹣2at≥0對任意的a∈[﹣1，1]恒成立

∴

∴

解得t≤﹣2或t=0或t≥2

【解析】（1）由f（x）是奇函數和單調性的定義，可得f（x）在[﹣1，1]上是增函數，再利用定義的逆用求解；（2）先由（1）求得f（x）的最大值，再轉化為關于a的不等式恒成立問題求解．