Question

【題目】某中學為了普及奧運會知識和提高學生參加體育運動的積極性，舉行了一次奧運知識競賽．隨機抽取了30名學生的成績，繪成如圖所示的莖葉圖，若規定成績在75分以上（包括75分）的學生定義為甲組，成績在75分以下（不包括75分）定義為乙組．
（Ⅰ）在這30名學生中，甲組學生中有男生7人，乙組學生中有女生12人，試問有沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關；
（Ⅱ）記甲組學生的成績分別為x1 ， x2 ， …，x12 ， 執行如圖所示的程序框圖，求輸出的S的值；
（Ⅲ）競賽中，學生小張、小李同時回答兩道題，小張答對每道題的概率均為 ，小李答對每道題的概率均為 ，兩人回答每道題正確與否相互獨立．記小張答對題的道數為a，小李答對題的道數為b，X=|a﹣b|，寫出X的概率分布列，并求出X的數學期望．

附：K2= ；其中n=a+b+c+d
獨立性檢驗臨界表：

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）作出2×2列聯表：

	甲組	乙組	合計
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計	12	18	30

由列聯表數據代入公式，計算得K2= = ≈1.83，
因為1.83＜2.706，故沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關；
（Ⅱ）根據程序運行的過程，得出該程序運行后輸出的是求甲組數據的平均數，
所以輸出S= ×（75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91）=80.5；
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）+ （1﹣ ） = ，
P（X=1）= （1﹣ ）（1﹣ ）+（1﹣ ）（1﹣ ） + = ，
P（X=2）= （1﹣ ）= ，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

X的數學期望值為EX=0× +1× +2× =
【解析】（Ⅰ）作2×2列聯表，計算K2 ， 對照數表即可得出結論；（Ⅱ）根據程序運行的過程，得出該程序運行后輸出的是求平均數，求出即可；（Ⅲ）由已知得X的可能取值，計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．