Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB=2AD，∠DAB=60°，M是BC的中點．將△ADM沿DM折起，使面ADM⊥面MBCD，N是CD的中點，圖2所示．

（Ⅰ）求證：CM⊥平面ADM；
（Ⅱ）若P是棱AB上的動點，當 為何值時，二面角P﹣MC﹣B的大小為60°．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OA，ON，因為AB=2AD，∠DAB=60°，M是BC的中點，
∴△ADM是正三角形，取DM的中點O，則AO⊥DM，
∵面ADM⊥面MBCD，∴AO⊥平面MBCD，
∵MC平面MBCD，∴AO⊥MC，
連接ON，△DMN為正三角形，
O是MD中點，ON⊥DM，ON為△DMC的中位線，
∴ON∥MC，故MC⊥DM，AO∩DM=O
∴CM⊥平面ADM
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥DM，ON⊥DM，
以O為坐標原點，以OM，ON，OA方向為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標系O﹣xyz如圖所示，
不妨設AB=2AD=2，
則 ，B（1， ，0），M（ ，0，0），C（ ），
則 =（1， ，﹣ ），
設 =（ ，﹣ ），（0＜λ＜1），
得 =（ ， ， ）， =（0， ，0），
設 =（x，y，z）為平面MCP的一個法向量，則有 =0， =0，
即 ，令x=1，得，
∴ =（1，0， ），
由意 =（0，0，1）為平面BMC的一個法向量，
∵二面角P﹣MC﹣B的大小為60°，
∴cos60°= = = ，
解得 ，
當 時，二面角P﹣MC﹣B的大小為60°．

【解析】（Ⅰ）連接OA，ON，推導出AO⊥DM，AO⊥平面MBCD，AO⊥MC，連接ON推導出ON∥MC，由此能證明CM⊥平面ADM．（Ⅱ）以O為坐標原點，以OM，ON，OA方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出當 時，二面角P﹣MC﹣B的大小為60°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．