Question

【題目】如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直徑的圓，DC的延長線與AB的延長線交于點E．
（Ⅰ）求證：DC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6 ，求BC的長．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵⊙O是以AB為直徑的圓，∠ACB=90°，∴點C在⊙O上，連接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC為半徑，∴DC是⊙O的切線．
（Ⅱ）解：∵DC是⊙O的切線，∴EC2=EBEA，又∵EB=6，EC=6 ，∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴ ，AC= BC，
∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2
【解析】（Ⅰ）先得出點C在⊙O上，連接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，從而OC∥AD，結合AD⊥DC得出DC⊥OC，從而DC是⊙O的切線（Ⅱ）利用切割線定理求出EA=12，再證出△ECB∽△EAC，得出AC= BC，在RT△ACB中求解．