Question

【題目】設為正項數列的前項和，且.數列滿足：，.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求數列的前項和；

（3）設，問是否存在整數，使數列為遞增數列？若存在求的值，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；. (2) (3)存在，

【解析】

（1）先由題意求出，再由時，，推出數列是以為公差的等差數列，求出的通項；根據，得到，推出數列是以為公比的等比數列，進而可求出數列的通項公式；

（2）先由（1）得到，根據錯位相減法，即可求出結果；

（3）先由（1）得，假設存在，滿足為遞增數列，得到對任意恒成立，列出不等式，分別討論為奇數，為偶數兩種情況，即可求出結果.

（1）當時，解得，

當時，由，及，

相減得，即，

解得或（舍）；即數列是以為公差的等差數列，

故；

由得，所以數列是以為公比的等比數列，

又，故，所以.

（2）由（1）得.

所以，

，

相減得

從而；

（3）由（1）得，若存在，滿足為遞增數列，

即對任意恒成立，

由

得

當為奇數時，由得，

當為偶數時，由得，

，故.