Question

【題目】已知函數（）.

（1）若，求曲線在點處的切線方程.

（2）當時，求函數的單調區間.

（3）設函數若對于任意，都有成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，增區間為，，減區間為；當時，的增區間為無減區間；（3）.

【解析】

（1）先由題意，得到，對其求導，得到對應的切線斜率，進而可得出所求切線方程；

（2）先對函數求導，得到，分別討論，和，解對應的不等式，即可得出結果；

（3）先根據題意，得到在上恒成立，滿足不等式，只需在上恒成立，令，，對其求導，求出的最大值，即可得出結果.

（1）若，則（），，

又（），所以，

在處切線方程為.

（2）

令，即，解出或.

當（即時），

由得或，

由得，

增區間為，，減區間為.

當，即時，

，在上恒成立，

的增區間為，無減區間..

綜上，時，增區間為，，減區間為，

時，增區間為，無減區間.

（3），有恒成立，

則在上恒成立，

當時，，即滿足不等式；

即在上恒成立，

令，，

由題意，只需當時，即可，

因為，

當時，顯然恒成立，所以在上單調遞增，

.，.

綜上所述，實數的取值范圍是.