Question

如果一個數列的各項都是實數，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差．
（1）設數列{a_n}是公方差為p的等方差數列，求a_n和a_n-1（n≥2，n∈N）的關系式；
（2）若數列{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，證明該數列為常數列；
（3）設數列{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列，若將a₁，a₂，a₃，…，a₁₀這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數．

Answer 1

解：（1）解：由等方差數列的定義可知：a_n²-a_n-1²=p，n≥2，n∈N．
（2）證明：∵a_n是等差數列，設公差為d，則a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d
又a_n是等方差數列，∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n²
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
即d（a_n+a_n-1-a_n+1-a_n）=-2d²=0，
∴d=0，即a_n是常數列．
（3）依題意，a_n²-a_n-1²=2，n≥2，n∈N，
a₁²=4，a_n²=4+2（n-1）=2n+2，
∴，或，
即該密碼的第一個數確定的方法數是l，其余每個數都有“正”或“負”兩種
確定方法，當每個數確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數是2⁹=512種，
故，這種密碼共512種．
分析：（1）由等方差數列的定義可知：a_n²-a_n-1²=p，n≥2，n∈N．
（2）證明：由題意可知a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n²，所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
即d（a_n+a_n-1-a_n+1-a_n）=-2d²=0，所以d=0，即a_n是常數列．
（3）依題意，a_n²-a_n-1²=2，n≥2，n∈N，由此能夠導出，或，由此入手能夠導出這種密碼的個數．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．