Question

（2012•安徽模擬）如果一個數列的各項都是實數，且從第二項起，每一項與它的前一項的平方差是同一個常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差．
（Ⅰ）若數列{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，求證：該數列是常數列；
（Ⅱ）已知數列{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列，數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2對?n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題an+12-an2=an2-an-12，通過分解因式，利用{a_n}為等差數列，設公差為d，求出d=0，說明{a_n}是常數列．
（Ⅱ）通過{an2}為首項為4，公差為2的等差數列，求出

a

2 n

，由an2=2n+1bn得b_n，利用錯位相減法求出S_n，通過不等式2n•Sn＞m•2n-2an2，推出m-3＜

3n+1

2n

恒成立，由歸納法原理推出n≥4時，3k+1＜2^k，求出m的取值范圍為m≤3．

解答：解：（Ⅰ）依題an+12-an2=an2-an-12
⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}為等差數列，設公差為d，
則-d(an+1+an-an-an-1)=0⇒2d2=0⇒d=0
故{a_n}是常數列．（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列．
即{an2}為首項為4，公差為2的等差數列，

a

2 n

=4+2(n-1)=2n+2（6分）
由an2=2n+1bn得bn=

an2

2n+1

=

2n+2

2n+1

=

n+1

2n

Sn=1+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

         ①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

  ②⇒

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

⇒Sn=3-

n+3

2n

（10分）
不等式2n•Sn＞m•2n-2an2即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即m-3＜

3n+1

2n

恒成立
由于n=1，2，3時，3n+1＞2ⁿ；n=4時，3n+1＜2ⁿ；
假設n=k（k≥4）時，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由歸納法原理知：n≥4時，3k+1＜2^k，
所以

3n+1

2n

＞0⇒m-3≤0，
故m的取值范圍為m≤3（14分）

點評：本題考查新定義的應用，數列特征的判斷，數列求和的錯位相減法的應用，轉化思想，計算能力．