Question

【題目】已知函數（）.

（1）若時， 不單調，求的取值范圍；

（2）設，若， 時， 時， 有最小值，求最小值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）根據不單調可得導函數在區間上有解，然后通過分離參數的方法將問題轉化為求在上的取值范圍的問題解決，然后利用基本不等式可得所求．（2）由題意可得，利用導數可得在上單調遞增，又，故可得在上存在零點，從而可得．然后再利用導數求出函數的值域即可得到所求．

試題解析：

（1）∵，

∴,

∵時， 不單調，

∴方程在上有解，

∴在上有解，

又，（當且僅當時等號才成立，故此處無等號）

∴．

∴ 實數的取值范圍為．

（2）由題意得，

∴.

設，則，

又， ，

∵，

∴單調遞增，

又，

∴存在，使得.

且當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增，

∴

.

設， ，

則，

∴在上單調遞減，

又，

∴.

故最小值的取值范圍為．