Question

【題目】疫情過后，某商場開業一周累計生成2萬張購物單，從中隨機抽出100張，對每單消費金額進行統計得到下表：

消費金額（單位：元）
購物單張數	25	25	30	？	？

由于工作人員失誤，后兩欄數據已無法辨識，但當時記錄表明，根據由以上數據繪制成的頻率分布直方圖所估計出的每單消費額的中位數與平均數恰好相等（用頻率估計概率），完成下列問題：

（1）估計該商場開業一周累計生成的購物單中，單筆消費額超過800元的購物單張數；

（2）為鼓勵顧客消費，拉動內需，該商場打算在今年國慶期間進行促銷活動，凡單筆消費超過600元者，可抽獎一次，中一等獎、二等獎、三等獎的顧客可以分別獲得價值元、元、元的獎品.已知中獎率為100%，且一等獎、二等獎、三等獎的中獎率依次構成等差數列，其中一等獎的中獎率為.若今年國慶期間該商場的購物單數量預計比疫情后開業一周的購物單數量增長5%，試預測商場今年國慶期間采辦獎品的開銷.

Answer 1

【答案】（1）1000（張）（2）采購獎品的開銷可估計為（元）

【解析】

（1）由中位數的定義，根據概率為，求得中位數，設消費在區間內的概率為，根據中位數與平均數恰好相等解得即可.

（2）根據中獎率為100%，且一等獎、二等獎、三等獎的中獎率依次構成等差數列，其中一等獎的中獎率為，設等差數列的公差為，由，解得，得到一等獎、二等獎、三等獎的中獎率，再根據購物單數量增長5%，得到今年的購物具有抽獎資格的單數，從而得到一等獎、二等獎、三等獎中獎單數，即可得到采購獎品的開銷.

（1），

中位數為，

又

設消費在區間內的概率為，

則消費在區間內的概率為

由中位數與平均數恰好相等可知，，

解得，

故單筆消費超過800元的購物單張數為：（張）.

（2）設等差數列的公差為，

則，

解得，

故一等獎、二等獎、三等獎的中獎率分別為

今年的購物具有抽獎資格的單數約為，

故一等獎、二等獎、三等獎中獎單數可估計為，

采購獎品的開銷可估計為（元）.