Question

如圖，三棱柱ABC－ABC的側面AACC與底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC.

（Ⅰ）證明：AC⊥BA；
（Ⅱ）求側面AABB與底面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

(1)要證明線線垂直，通過線面垂直的性質定理來證明。
(2) 側面AABB與底面ABC所成的二面角為arccos

試題分析：（Ⅰ）證明：取AC的中點O，連結OA，OB，BA，則
，             2分
.                    4分
∴AC⊥面BOA.                          5分
∵BA面BOA，∴AC⊥BA.              6分
（Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC，
∴AO⊥面ABC.                          7分
過點O作OH⊥AB于H，連結AH，則AH⊥AB，
∴∠AHO為所求二面角的平面角.                  9分
在等邊△ABC中，OH=，AH=.   ∴cos∠AHO==.       11分
∴側面AABB與底面ABC所成的二面角為arccos.                   12分
解法二：以O為坐標原點，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，                                              7分

則A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），
C（0，4，2），設n=（x，y，z）是面AABB的一個法向量，則n⊥，n⊥，
∵=（0，2，2）， =（2，2，0），                 8分
∴ 取x=1，得n=（1，－，）.            9分
易知平面ABC的法向量為m=（0，0，1），                   10分
所以cos<m，n>==.                  11分
∴ 側面AABB與底面ABC所成的二面角為arccos.                  12分
點評：主要是考查了關于垂直證明，以及二面角的平面角的求解，屬于基礎題�？梢赃\用代數法也可以運用幾何性質來求解和證明。