Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，軸上方的點(diǎn)在拋物線上，且，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，與不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：直線恒過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)及拋物線定義可求p，從而得到方程；

（Ⅱ）設(shè)出直線方程，與拋物線方程相聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合可得關(guān)系，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).

（Ⅰ）由拋物線的定義可以，

,拋物線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)重合，舍去.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立得：

又，

即，

，

，

將①代入得，

即

得或

當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過;

當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過（舍去）

所以直線恒過定點(diǎn).