Question

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點．

(1)求證：AM＝CM；
(2)若N是PC的中點，求證：DN∥平面AMC.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
在Rt△PAB中，M為PB的中點，則AM＝PB，
在Rt△PBC中，M為PB的中點，則CM＝PB，∴AM＝CM.

(2)連接DB交AC于點F，
∵DC=AB，∴DF＝FB.
取PM的中點G，連接DG，FM，則DG∥FM，
又DG?平面AMC，FM?平面AMC，
∴DG∥平面AMC.
連接GN，則GN∥MC，
∴GN∥平面AMC，
又GN∩DG＝G，
∴平面DNG∥平面AMC.
又DN?平面DNG，∴DN∥平面AMC.