Question

已知橢圓C₁:,拋物線C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C₂的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）m＝0， .此時(shí)C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.
（II）滿足條件的、存在，且或，．

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上.所以，即.此時(shí)C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.
（II）： 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為．
由消去得…①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  
則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.
　　由　消去y得.         ………………②
因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，
所以，即.代入②有.
即.                     　　 …………………③
由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.
從而＝. 解得　　　……………………④
又AB過(guò)C_1，C₂的焦點(diǎn)，所以
，
則   …………………………………⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，所以.
　或．
由上知，滿足條件的、存在，且或，．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題解答過(guò)程中，主要運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)。結(jié)合拋物線的焦半徑公式，建立了k的方程。