Question

【題目】已知函數(shù)，，為的導函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，當時，求證：有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析；

【解析】

（1）結(jié)合函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對進行分類討論，分為，，，幾種情形，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果可得的單調(diào)性，易得1為函數(shù)一個零點，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點判定定理可求結(jié)果.

（1）

①當時，令，得，令，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當時，令，得，，

i）當時，，所以在上單調(diào)遞增；

ii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上：①當時，在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

②i）當時，在上單調(diào)遞增；

ii）當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）

因為，所以是函數(shù)的一個零點，

由（1）知時，在單調(diào)遞減，所以，

又因為，所以，

所以在上恰有一個零點，

所以當時有兩個零點.