Question

【題目】已知函數f(x)＝x2－x＋c定義在區間[0,1]上，x1，x2∈

[0,1]，且x1≠x2，求證：

(1)f(0)＝f(1)；

(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析

【解析】

（1）直接計算f（0）和f（1）即可；

（2）由于|f（x2）﹣f（x1）|=|x2﹣x1||x2+x1﹣1|．故只要證明|x2+x1﹣1|＜1即可.

(1)∵f(0)＝c，f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)．

(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|.

∵0≤x1≤1,0≤x2≤1，x1≠x2，∴0＜x1＋x2＜2.

∴－1＜x1＋x2－1＜1.∴|x2＋x1－1|＜1.

∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.