Question

【題目】已知函數(shù)，．

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

.

【解析】

先求出的定義域，在求導(dǎo)，根據(jù)的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，再由在區(qū)間上恒成立，，得出的取值范圍.

解：的定義域?yàn)?/span>，

.

當(dāng)時(shí)，，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

令，解得或，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

令，解得或，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增.

由得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，故不滿足條件；

當(dāng)時(shí)，由可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

，滿足條件；

當(dāng)時(shí)，由可知，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為.

若極小值為最小值，在區(qū)間上恒成立，則，

解得，

若，

則，即.

因?yàn)?/span>，

所以的取值范圍為.