Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2mx+10（m＞1）．
（1）若f（m）=1，求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]上是減函數，且對于任意的x1 ， x2∈[1，m+1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤9恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若f（x）在區(qū)間[3，5]上有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意m2﹣2m2+10=1，解得m=3或m=﹣3（舍去），

∴f（x）=x2﹣6x+10

（2）解：由f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]上是減函數，得m≥2，

∴當x∈[1，m+1]時， ．

∵對于任意的x1，x2∈[1，m+1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤9恒成立，

∴f（x）max﹣f（x）min≤9，即m2﹣2m﹣8≤0，

解得﹣2≤m≤4．

∴實數m的取值范圍是[2，4]

（3）解：∵f（x）在區(qū)間[3，5]上有零點，

∴關于x的方程x2﹣2mx+10=0在[3，5]上有解．

由x2﹣2mx+10=0，得 ，

令 ，

∵g（x）在 上是減函數，在 上是增函數，

∴ ，即

∴求實數m的取值范圍是

【解析】(1)根據f（m）=1可得，m2﹣2m2+10=1，解得m=3或m=﹣3（舍去）故得解析式。（2）由已知根據增減性的定義可得到﹣2≤m≤4．
（3）根據零點定理可得實數m的取值范圍。