Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線的切線經過點，求的方程；

（2）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)或；(2).

【解析】分析：（1）要求直線的方程，因為直線經過點，所以應求直線的斜率。應用導函數的幾何意義求斜率。故先設切點為，求函數的導函數得，所以，因為切線過點，所以用兩點連線的斜率公式可得斜率為，所以，即，整理可得，化簡得，解得或。分兩種情況討論，可求斜率，進而求切線的方程。（2）方程有兩個不相等的實數根，就是方程有兩個不相等的實數根，應構造函數，轉化為函數圖像與軸有兩個交點，即函數有兩個零點．故應求導，求函數的單調性。求導得。因為的正負與的正負有關。 所以分① ② ③ 三種情況討論。

①當時，函數的解析式變為，由二次函數可知此時函數只有一個零點。

②當時，因為，所以。所以的正負只和的正負有關。所以由得，由得，進而可得在上為減函數，在上為增函數。所以。因為 ，所以在上由唯一的零點，且該零點在上．再考慮函數在上零點的個數。因為。當即時，函數在上有一個零點，所以時，函數有兩個零點。當即時，，所以，取，因為函數在上為減函數，則，所以在上有唯一零點，進而函數在上有唯一零點。所以函數有兩個零點．

③當時， 。由，得或。

當即時， ，所以在定義域上為減函數，所以函數至多有一個零點．

當即亦即 時，由，�？傻�在上單調遞減，在上單調遞增，在單調遞減，又因為

所以至多有一個零點．

當即亦即 時，由，�？傻�在上單調遞增，在和上單調遞減，又因為，所以至多有一個零點．綜上可得的取值范圍為．

詳解：（1）設切點為，因為，所以

由斜率知：，即，可得，，

，所以或

當時，，切線的方程為，即，

當時，，切線的方程為，即

綜上所述，所求切線的方程為或；

（2）由得：，代入整理得：，

設

則，由題意得函數有兩個零點．

當時，，此時只有一個零點．

當時，由得，由得，即在上為減函 數，

在上為增函數，而，所以在上由唯一的零點，且該零點在上．

若，則，取，

則，

所以在上有唯一零點，且該零點在上；

若，則，所以在上有唯一零點；

所以，有兩個零點．

③當時，由，得或，

若，，所以至多有一個零點．

若，則，易知在上單調遞減，在上單調遞增，在單調遞減，

又

所以至多有一個零點．

若，則，易知在上單調遞增，在和上單調遞減，又，所以至多有一個零點．

綜上所述：的取值范圍為．