Question

【題目】設數列的各項為正數，且，數列滿足：對任意恒成立，且常數.

（1）若為等差數列，求證：也為等差數列；

（2）若，為等比數列，求的值（用c表示）；

（3）若且，令，求證.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設，根據題意，求得即可得到數列為等差數列；

（2）由，可得，利用疊加法，求得，再根據為等比數列，即可求得的值；

（3）由，得到，得出遞增數列，且，進而求得，結合裂項法，即可求解.

（1）因為為等差數列，設

所以，

因為，所以（常數），所以為等差數列.

（2）因為，且，

可得，

所以，

，

…

，

所以

所以，

因為為等比數列，所以成等比數列，

即，即，解得，

經檢驗，可得為等比數列，所以.

（3）由，

因為，可得，且，

所以遞增數列，且，

所以，

∴.