【題目】設
,對于
，有
.
（1）證明：
（2）令
,
證明 ：（I）當
時，
（II）當
時，
【答案】（1）見解析;（2）（I）見解析;（II）見解析.
【解析】
（1）由分析法可證明，找到
成立的充分性。（2）（I）當
時，當
時，有
;再由分析法證明
。（II）當
時，當
時，有
，再由分析法結合數學歸納法證明
。
（1）若，則只需證
只需證
成立
只需要證
成立，而該不等式在
時恒成立…
故只需要驗證
時成立即可，
而當時，
均滿足該不等式。
綜上所得不等式成立。
（2）、（I）當時，
用數學歸納法很明顯可證當時，有;
下證：
,
只需要證
,
只需證
只需證
,
只需證
,
只需證
.
由（1）可知，我們只需要證
,
只需證
,只需證
.
當時該不等式恒成立
當時，
，故該不等式恒成立
綜上所得，上述不等式
成立
（II）、當時，用數學歸納法很明顯可證當時，有
下證：
只需證: 
,
只需證：
只需證：
,
只需證：
只需證：
,……
同理由（2）及數學歸納法，可得該不等式成立。
綜上所述，不等式
成立
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）當
時，求
的極值；
（2）當
時，若函數恰有兩個不同的零點，求
的值；
（3）當
時，若
的解集為
，且 中有且僅有一個整數，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形
是邊長為2的正方形，
，
為
的中點，點
在
上，
平面
，
在
的延長線上，且
.
(1)證明:
平面
.
(2)過點
作
的平行線，與直線
相交于點
，點
為
的中點，求到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
的各項為正數，且
，數列
滿足：
對任意
恒成立，且常數
.
（1）若為等差數列，求證：也為等差數列；
（2）若
，為等比數列，求
的值（用c表示）；
（3）若
且
，令
，求證
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓
的方程為
．
（1）寫出直線
的普通方程和圓
的直角坐標方程；
（2）設點
，直線
與圓
相交于
兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節目：（寫出必要的數學式，結果用數字作答）
（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？
（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？
（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列四個命題
①“若
，則互為相反數”的逆命題；
②“全等三角形的面積相等”的否命題；
③“若
，則
有實根”的逆否命題；
④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題.
其中真命題為_______________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點
，兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）過焦點
作
軸的垂線交橢圓上半部分于點
，過點作橢圓的弦
，設弦 所在的直線分別交軸于
、
兩點，若
為等腰三角形時，問直線
的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
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