Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）若時，在定義域內(nèi)總有成立，試求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅲ）

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)切線的關(guān)系可得；

(Ⅱ)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分類討論有當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(Ⅲ)原問題等價于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最小值可得實數(shù)的最大值為

試題解析：

（Ⅰ）易得，且

由題意，得，解得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

①當(dāng)時， ， 函數(shù)在單調(diào)遞減，

②當(dāng)時，由，得；

由，得或

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)時，同理，得

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅲ）當(dāng)時，由恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，則只需

又，令，得，

當(dāng)時， ，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，

故所求實數(shù)的最大值為