Question

【題目】如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．

（1）求證：BD1∥平面A1DE；
（2）求直線A1E與平面AD1E所成角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD1交A1D于點(diǎn)F，連EF．

∵四邊形AA1D1D是正方形，

∴F是AD1的中點(diǎn)，

又∵E為AB的中點(diǎn)，

∴EF∥BD1，

又∵EF平面A1DE，BD1平面A1DE．

∴BD1∥平面A1DE．

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE⊥AD．

又∵平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，AE平面ABCD，

∴AE⊥平面AA1D1D，又A1D平面AA1D1D，

∴AE⊥A1D．

∵四邊形ADD1A1是正方形，

∴AD1⊥A1D，

又∵AE平面AD1E，AD1平面AD1E，AE∩AD1=A，

∴A1D⊥平面AD1E，

∴∠A1EF是直線A1E與平面AD1E所成角．

∵AA1=AE=1，

∴

∵正方形AA1D1D的邊長為1，

∴

∴ ，

∴ ．

即直線A1E與平面AD1E所成角為 ．

【解析】（1）連接AD1交A1D于點(diǎn)F，連EF，利用中位線定理可得BD1∥EF，故BD1∥平面A1DE；（2）證明A1D⊥平面AD1E，故而∠A1EF為直線A1E與平面AD1E所成角，于是sin∠A1EF= ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．