Question

【題目】（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的上頂點到焦點的距離為2，離心率為．

（1）求a，b的值．

（2）設P是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點．

（ⅰ）若k＝1，求△OAB面積的最大值；

（ⅱ）若PA2＋PB2的值與點P的位置無關，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1．（2）（ⅰ）m＝±時，S△OAB取得最大值1．（ⅱ）±.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓幾何條件知上頂點到焦點的距離為半長軸長，即a＝2，又e，所以c＝，故b＝1．（2）（ⅰ）求△OAB面積的最大值，關鍵建立其函數關系式，這要用到點到直線距離公式來求高，利用兩點間距離公式來求底邊邊長：設點P（m，0）（－2≤m≤2），直線l的方程為y＝x－m．則可求得∣AB|＝，高為，從而S△OAB＝×|m|，利用基本不等式求最值（ⅱ）由題意先表示出PA2＋PB2，再按m整理，最后根據與點P的位置無關得到對應項系數為零，從而解出k的值．

試題解析：（1）由題設可知a＝2，e，所以c＝，故b＝1．

因此，a＝2，b＝1． 2分

（2）由（1）可得，橢圓C的方程為＋y2＝1．

設點P（m，0）（－2≤m≤2），點A（x1，y1），點B（x2，y2）．

(ⅰ)若k＝1，則直線l的方程為y＝x－m．

聯立直線l與橢圓C的方程，即．將y消去，化簡得

－2mx＋m2－1＝0．從而有x1＋x2＝， x1· x2＝，

而y1＝x1－m，y2＝x2－m，

因此，∣AB|＝

點O到直線l的距離d＝，

所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，

因此，S2△OAB＝ ( 5－m2)×m2≤＝1．

6分

又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．

所以，當5－m2＝m2，即m2＝， m＝±時，S△OAB取得最大值1．

8分

(ⅱ)設直線l的方程為y＝k(x－m).

將直線l與橢圓C的方程聯立，即．

將y消去，化簡得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，

x1＋x2＝，x1·x2＝ ． 10分

所以，

PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝ (x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2

＝ （*）. 14分

因為PA2＋PB2的值與點P的位置無關，即（*）式取值與m無關，

所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．

所以，k的值為±. 16分