Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）寫出當時直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知點，直線與曲線相交于不同的兩點，，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當時，直接消參可得直線的普通方程：，對兩邊乘以，結合可得曲線的直角坐標方程為：，問題得解。

（Ⅱ）顯然，點在直線上，聯立直線的參數方程及圓的普通方程可得：，即可求得：，，再利用參數的幾何意義可得：，整理可得：，問題得解。

解：（Ⅰ）當時，由，消去參數可得：，

即直線的普通方程為，

由得，得，

∴曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）顯然，點在直線上，

聯立得：，

設，對應的參數為，，

則 ，，

∴

，

∴當時，取得最大值2.