Question

請您設計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時，帳篷的體積最大？

Answer 1

設OO₁為xm，
則由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）

32-(x-1)2

=6•

3

4

•(

8+2x-x2

)2=

3 3

2

(8+2x-x2)
帳篷的體積為（單位：m³）V(x)=

3 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)
求導數，得V′(x)=

3

2

(12-3x2)
令V'（x）=0解得x=-2（不合題意，舍去），x=2．
當1＜x＜2時，V'（x）＞0，V（x）為增函數；
當2＜x＜4時，V'（x）＜0，V（x）為減函數．
所以當x=2時，V（x）最大．
答當OO₁為2m時，帳篷的體積最大．