Question

【題目】如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB＝4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖(2))．

(1)求證：PB⊥DE；

(2)若PE⊥BE，PE＝1，求點B到平面PEC的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據線面垂直的判定定理和性質定理進行證明，（2）由(1)知PE⊥平面BEDC，在△EDC中，由余弦定理得EC＝，S△PEC＝×PE×EC＝.利用等體積法VP－BEC＝VB－PEC進行求解即可得點B到平面PEC的距離．

試題解析：

(1)∵DE⊥AB，∴DE⊥PE，DE⊥EB.

又∵PE∩BE＝E，∴DE⊥平面PEB.∵PB平面PEB，∴PB⊥DE.

(2)由(1)知DE⊥PE，且PE⊥BE，DE∩BE＝E，∴PE⊥平面BEDC.

連接EC，∵PE＝1，

∴DE＝PE＝1，AD＝DC＝.

在△EDC中，∠EDC＝135°，由余弦定理得

EC2＝DE2＋DC2－2DE×DC×cos∠EDC＝1＋2－2×(－)＝5，

∴EC＝，∴S△PEC＝×PE×EC＝.

設點B到平面PEC的距離為h，則由VP－BEC＝VB－PEC得S△PEC·h＝S△BEC·PE，

∴h＝×3×2×1，∴h＝.