Question

【題目】園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為米，圓心角為（弧度）的扇形觀景水池，其中， 為扇形的圓心，同時(shí)緊貼水池周邊(即： 和所對(duì)的圓弧)建設(shè)一圈理想的無(wú)寬度步道.要求總預(yù)算費(fèi)用不超過(guò)24萬(wàn)元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1000元.

(1)若總費(fèi)用恰好為24萬(wàn)元，則當(dāng)和分別為多少時(shí)，可使得水池面積最大，并求出最大面積；

(2)若要求步道長(zhǎng)為105米，則可設(shè)計(jì)出的水池最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）， ，面積最大值為400平方米.（2）水池的最大面積為337.5平方米.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)總費(fèi)用確定和關(guān)系，再根據(jù)扇形面積公式得關(guān)于r函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求最值（2）先根據(jù)步道長(zhǎng)確定和關(guān)系，再根據(jù)扇形面積公式得關(guān)于r二次函數(shù) ，根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系求最值

試題解析：解(1)法1：弧長(zhǎng)AB為，扇形面積為，

則即

所以

當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)

答： ， ，面積最大值為400平方米.

法2：利用基本不等式.

(2) 由

,

所以

所以所以

. , ，

所以， 時(shí)，水池的最大面積為337.5平方米.

答： 的取值范圍為，且當(dāng)， ，水池的最大面積為337.5平方米.